Міністерство освіти науки молоді та спорту України Національний університет „Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних технологій, автоматики та метрології Кафедра: комп’ютерезовані системи автоматики Розрахункова робота з дисципліни: «Конструювання, технологія виробництва і надійність засобів автоматики» Номер залікової книжки: 1209914  Львів-2013 Завдання №1 (варіант 4) Опишіть закон
-розподілу , його властивості , характерні випадки його використання в теорії надійності. Намалюйте криві розподілу. Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо
де
, С — константа, яка визначається із умови нормування:
Тут
де
називають гамма-функцією. Таким чином,
. Тоді
Функція розподілу ймовірностей
Отже, гамма-розподіл визначається двома параметрами
і
. Розглянемо властивості гамма-функції:



Установимо зв’язок між гамма-функціями

Зінтегруємо

Отже,
. Якщо, наприклад, ( = n, де n — ціле невід’ємне число, то: Г(n + 1) = nГ(n). Використовуючи рівність для Г(n), дістаємо: Г(n) = (n – 1)Г(n – 1), для Г(n – 1) рівність набуде такого вигляду: Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2) і так для кожного цілого значення аргументу ( гамма-функції. Таким чином, Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) == n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = … == n(n – 1)(n – 2) … Г(1) = n(n – 1)(n – 2) … 1 = n! Отже, Г(n + 1) = n! Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 120. 5.1. Числові характеристики 1.


. 2.
= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо | =

;

. 3.
/ Рисунок 1. Характеристики зміни гамма-розподілу: а) – функція надійності; б) – щільність розподілу напрацювання до відмови; в) – інтенсивність відмов Завдання №2 (варіант 4) Непоновлювана система телевимірювання має експоненціальний закон розподілу часу безвідмовної роботи з інтенсивністю відмов λ. Визначити кількісні характеристики надійності для часу t0. Дано: λ=10-6 (1/год) Згідно з експоненційним законом розподілу: t0=105(год) 1) ймовірність безвідмовної роботи Р(t0) – ?